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소방 설비 기사

라플라스 변환

by 배굿맨 2020. 9. 10.

정의

 

시간영역의 함수에 회전함수 est를 곱하고 그 값을 0에서 부터 무한대까지 적분한다.

 

0x(t)estdt

 

위식이 라플라스 변환식의 정의이다.

 

함수별 라플라스 변환

 

단위계단함수(인디셜함수)

L[f(t)]=1s 

 

상수함수

L[f(t)]=L[K]=Ks 

 

단위경사함수

L[f(t)]=L[t]=1s2

L[f(t)]=L[tn]=n!sn+1

 

단위임펄스함수

L[f(t)]=L[δ(t)]=1

 

지수함수

f(t)=eat L[f(t)]=L[eat]=1s+a
f(t)=eat L[f(t)]=L[eat]=1sa

삼각함수

f(t)=sinωt ωs2+ω2
f(t)=cosωt ss2+ω2
f(t)=sinhωt ωs2ω2
f(t)=coshωt ss2ω2

---------------------------------------(아랫부분은 전기기사)------------------------------------

초깃값 정리, 최종값 정리 및 그 이외 정리

 

초깃값 정리

lim

 

최종값 정리

\lim_{t \to \infty f(t)} =lim_{s \to 0} s \cdot F(s)

 

선형정리

 

f(t) = \delta(t) + sin \omega t, F(s)는?

F(s) = 1+ \dfrac{s}{s^2 + \omega^2} = \dfrac{s^2 + s+ \omega^2 }{s^2 + \omega^2} 

 

복소 추이 정리 : 시간함수와 지수함수의 곱 형태

 

f(t) = t^2 e^{-at}, F(s)는?

 

\int_{0}^{\infty} x(t) e^{-at} e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} t^2 e^{-(s+a)t} = \dfrac{2!}{(s+a)^3} = \dfrac{2}{(s+a)^3}

 

복소 미분 정리 : n차 램프함수와 시간함수와 곱 형태

 

\mathcal{L} t^n f(t) = (-)^n \dfrac{d^n}{ds^n} F(s)

 

f(t) = t sin \omega t, F(s)는?

F(s) = (-1)^1 \dfrac{d^1}{ds^1} \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}

 

여기서, 분수식의 미분법 (b/a)^\prime = \dfrac{b^\prime a - ba^\prime}{a^2}을 적용하면.

F(s) = - \dfrac{w^\prime (s^2 + \omega^2 )- \omega (s^2 + \omega^2)^\prime }{(s^2 + \omega^2 )^2} =  \dfrac{2 \omega s}{(s^2 + \omega^2)^2}

 

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