라플라스 변환

정의

 

시간영역의 함수에 회전함수 $e^{-st}$를 곱하고 그 값을 0에서 부터 무한대까지 적분한다.

 

$\int_{0}^{\infty} x(t) e^{-st} dt$

 

위식이 라플라스 변환식의 정의이다.

 

함수별 라플라스 변환

 

단위계단함수(인디셜함수)

$\mathcal{L}[{f(t)}] = \dfrac{1}{s}$ 

 

상수함수

$\mathcal{L}[{f(t)}] = \mathcal{L}[K] = \dfrac{K}{s}$ 

 

단위경사함수

$\mathcal{L}[{f(t)}] = \mathcal{L}[t] = \dfrac{1}{s^2}$

$\mathcal{L}[{f(t)}] = \mathcal{L}[t^n] = \dfrac{n!}{s^{n+1}}$

 

단위임펄스함수

$\mathcal{L}[{f(t)}] = \mathcal{L}[\delta(t)] = 1$

 

지수함수

$f(t)=e^{-at}$	$\mathcal{L}[{f(t)}] = \mathcal{L}[e^{-at}] = \dfrac{1}{s+a}$
$f(t)=e^{at}$	$\mathcal{L}[{f(t)}] = \mathcal{L}[e^{at}] = \dfrac{1}{s-a}$

삼각함수

$f(t) = sin \omega t$	$ \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2} $
$f(t) = cos \omega t$	$ \dfrac{s}{s^2 + \omega^2}$
$f(t) = sin h \omega t$	$ \dfrac{\omega}{s^2 - \omega^2}$
$f(t) = cos h \omega t$	$ \dfrac{s}{s^2 - \omega^2}$

---------------------------------------(아랫부분은 전기기사)------------------------------------

초깃값 정리, 최종값 정리 및 그 이외 정리

 

초깃값 정리

${\lim_{t \to 0} f(t)} =lim_{s \to \infty} s \cdot F(s)$

 

최종값 정리

$\lim_{t \to \infty f(t)} =lim_{s \to 0} s \cdot F(s)$

 

선형정리

 

$f(t) = \delta(t) + sin \omega t$, $F(s)$는?

$F(s) = 1+ \dfrac{s}{s^2 + \omega^2} = \dfrac{s^2 + s+ \omega^2 }{s^2 + \omega^2}$ 

 

복소 추이 정리 : 시간함수와 지수함수의 곱 형태

 

$f(t) = t^2 e^{-at}$, $F(s)는?$

 

$\int_{0}^{\infty} x(t) e^{-at} e^{-st} dt = \int_{0}^{\infty} t^2 e^{-(s+a)t} = \dfrac{2!}{(s+a)^3} = \dfrac{2}{(s+a)^3} $

 

복소 미분 정리 : n차 램프함수와 시간함수와 곱 형태

 

$\mathcal{L} t^n f(t) = (-)^n \dfrac{d^n}{ds^n} F(s)$

 

$f(t) = t sin \omega t$, $F(s)$는?

$F(s) = (-1)^1 \dfrac{d^1}{ds^1} \dfrac{\omega}{s^2 + \omega^2}$

 

여기서, 분수식의 미분법 $(b/a)^\prime = \dfrac{b^\prime a - ba^\prime}{a^2}$을 적용하면.

$F(s) = - \dfrac{w^\prime (s^2 + \omega^2 )- \omega (s^2 + \omega^2)^\prime }{(s^2 + \omega^2 )^2} =  \dfrac{2 \omega s}{(s^2 + \omega^2)^2} $