카르노맵과 불 대수

불 대수의 기본법칙

 

교환법칙

$A+B=B+A$

$A·B = B·A$

 

결합법칙

$A+(B+C) = (A+B)+C$

$(A·B)·C=A·(B·C)$

 

분배법칙

$A·(B+C)=A·B + A·C$

$A+(B·C) = (A+B)·(A+C)$

 

드모르간의 법칙

$\overline{(A+B)} = \overline{A} · \overline{B}$

$\overline{(A·B)} = \overline{A} + \overline{B}$

 

기본법칙

$A · 0 = 0$

$A · 1 = A$

$A + 0 = A$

$A + 1 = 1$

$A + \overline{A} = 1$

$A + A = A$

$A · A = A$

 

기본정리

$A + A·\overline{B} = A$

$A+\overline{A}B = (A+\overline{A})·(A+B) = 1·(A + B) = A + B$

$\overline{A} B + \overline{B} =(\overline{A} + \overline{B})·(B + \overline{B}) = \overline{A} +\overline{B} =\overline{A·B}$

위 식은 분배법칙으로 유도된다.

 

카르노맵

맵을 그리기 전에 카르노맵이 어떻케 나왔는지 생각해보자.

 

다음과 같은 대수식이 있다. 이것을 간단히 하면,

$F=\overline{A} B + A \overline{B} + AB$

즉, 카르노맵은 공통인수가 포함되도록 묶고(2,4,8,16...,) 묶인 부분의 공통인수는 남기고 1이 되는 요소(예, $A +  \overline{A}$)는 버리는 형태를 가진다. 많이 묶자. 상하좌우 벽을 통과한다. 단, 대각으로는 묶지 못한다.

 

 

3변수는 

 

비트가 하나만 변화함에 주의! 이래야 벽을 뚫는다.

4변수는

과 같은 형태를 가진다. 3변수와 4변수 내에 있는 숫자는 ABCD의 2진 숫자를 10진 숫자로 나타낸 값이다.

 

$F(A,B,C,D)=\Sigma(4,5,12,13,15,16) $로 표시되는 카르노맵은 아래와 같으며 간략화된 부울대수값도 나타내었다.

 

그리고 마지막으로 4 귀퉁이가 모두 1인 카르노맵은 4 귀퉁이를 하나로 모아 묶을 수 있다.