왜 임피던스는 복소수인가?

교류전압, 전류 및 임피던스는 왜 복소수인가? 허수는 값이 없다는데, 우리가 사용하는 전기가 허수라니?

 

답은 허수로 표현했을 뿐이지 허수(존재하지 않는 수)란 말은 아닙니다. 즉 위 물리량은 복소수 형태로 표현된 벡터물리량입니다.

 

그런데 왜 벡터로 표현할까요?

 

우리가 보통 교류 입력신호를 $A Sin$ 함수라고 할 떄, $ASin$ 함수는 $ASin~ {(\omega t + \theta)}$로 표현됩니다. 이것은 시간의 함수입니다. $\omega$와 $\theta$는 상수이고 t의 함수입니다. 평면도에 그리면 y축은 변위(특정 시간대의 sin함수의 값)가 됩니다. 그런데 우리는 변위 값(A)와 위상($\theta$)에 관심이 있습니다. 즉, 시간의 변화에 따른 변위가 한 주기 안에서 변하며 이러한 주기가 무한 반복됩니다.

 

그러면 한 주기만 바라보면 어떨까요? 아래의 포스팅을 꼭 읽어보세요.

 

https://angeloyeo.github.io/2019/06/18/phasor.html

페이저(phasor) - 공돌이의 수학정리노트

 

벡터의 정의를 보면 벡터는 2개 이상의 독립적인 물리량이며 크기와 방향을 가진다라고 말할 수 있습니다. 그러니,

우리가 주파수를 고정(상수로 볼 때)시켜 놓았을 때, 위 물리량은  위상($\theta$)에 따라서 변합니다. 즉 변위(A)를 가지고 위상($\theta$)에 따라 방향을 가지는 벡터물리량으로 표현할 수 있습니다. 이러한 벡터물리량은 복소평면에 표현할 수 있겠지요?

 

우리가 고등학교 때 배운 극좌표계를 이용해서 전원($Sin$ 함수)이 인가된 각각의 R, L, C 만의 회로에서의 임피던스는 아래와 같이 나타납니다. 임피던스는 전류와 전압비입니다. 임피던스를 알면 전류 또는 전압 중 하나만 주어져도 다른 값을 비례식으로 알 수 있습니다. 마치 원주율 $\pi$와 같은 역할을 합니다.

 

회로이론의 기초를 공부하면 아래와 같이 각각의 R, L, C 회로의 임피던스($Z$)를  극좌표계와 복소좌표계로 표현할 수 있습니다.

R회로	$R \angle (0)$
L회로	$X_L \angle (\pi/2)$
C회로	$X_C \angle (-\pi/2)$

극좌표계는 복소좌표계(복소평면)으로 쉽게 변환됩니다.

R회로	$R$	$R$
L회로	$j \omega L$	$+j X_L$
C회로	$ \frac {1}{j \omega C}$	$-j X_C$

임피던스($Z$)가 복소평면상에 나타났습니다. 즉, 위상값은 복소평면에서 보면 각도(회전각도)이고 이는 j와 의 곱셈값으로 나타납니다.

 

그리고 이렇케 나온 각각의 해(복소수/벡터)는 결합법칙 및 교환법칙이 성립합니다. 예를 들면,  R, L, C 직렬회로의 임피던스($Z$)는

$Z = R + j X_L  + 1 / (j X_C ) = R + j(X_L - X_C)$와 같이 표현됩니다.

 

어떤가요? 

$sin(\omega t +\theta)$로 표현되는 임피던스를 각각 구한 다음에 $sin$함수의 덧셈을 할까요? 아니면 복소수로 표현되는 각각의 임피던스 값을 더하는 것이 좋을까요?

 

(위에서는 수식을 이용해서 왜 임피던스는 복소수로 표현하는가를 설명하는데 중점을 두었습니다. 그러나 아래 설명이 본 포스팅 제목에 적합한 것이라 생각하여 본문을 수정/추가하였습니다.)

 

또한 j와의 곱이라는 것은 인덕턴스(L)과 커패시턴스(C)가 허수의 크기를 결정한다고 볼 수 있습니다. 복소수에서 허수부분이 담당하는 역할인 에너지 저장과 관련되어 있다고 합니다. 눈에는 보이지 않으나 없다고 할 수 없는것... 아래 사이트를 꼭 한 번 방문해보세요.

http://www.rfdh.com/bas_rf/begin/complex.htm

복소수신호란 도대체무슨뜻?

윗 글을 읽은 후 본 포스팅의 내용을 추가하려다 좋은 사이트를 소개시켜드리는게 나을 것 같아 링크로 남깁니다.

 

 

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왜 복소수($i$)가 나왔을까? 3차 방정식에서 $x^3 =1$ 을 구할 때 해는 3개가 나와야 하는데, 실수에서는 답을 찾을 수 없어서 허수를 만들었다고 합니다. 위 식을 인수분해하면,

$(x-1)(x^2 +x + 1)=0$

그러면 해 는 $x=1$ 과 켤레해 $x=\frac{-1 \pm \sqrt{3i}}{2}$를 가집니다. 우리는 허수를 알고 있어서 답을 찾았지만 이전에는 맨붕이 왔을 것 같습니다. 그래서 $x^2 = -1$을 만족하는 수 $i$를 만들고 나니 이것을 실수가 아닌 어떤 수 라고 정의해서 허수라고 이름지었습니다.

 

그런데 벡터에서는 허수를 좋아합니다. 왜냐하면 벡터는 서로 영향을 주지 않는 단위 벡터들이 필요한데 이러한 단위 벡터는 내적이 0이 되어야 하며 다른 말로는 차원이 다르다고 합니다.

 

그리고 하나의 2차원 평면에 차원이 다른 실수축과 허수축을 놓고 대상을 바라보면, 직관력이 생기나 봅니다. 

 

오일러씨가 $e^{i\pi} = -1$을 증명한 이후(실제론 이 때의 증명이 잘 못 되었다고 하지만 후대의 과학자들이 제대로 증명해 주었다고 합니다.) 우리는 무한소수인 $e$, $\pi$를 실수와 허수로 묶어서 한 번에 바라볼 수 있게 되었습니다.

 

끝으로 $e^{i\pi} = -1$이란 의미는 180도 회전하면 그 값이 -1이란 의미입니다. $\pi/2$은 얼마일까요? 당연히 $i$입니다.

 

이해가 안되면... 

$e^{i\pi/2} = cos(\pi/2) + i sin(\pi/2) = 0 + i \times 1 = i $

로 계산이 되지만 오일러 공식이 품은 뜻 "회전"은 이해해야 합니다.

 

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2022년10월21일 수정 :

1. 수정사항(벡터의 정의를 잘 못 설명했습니다.)

2. 외부포스팅에 정말 좋은 정의가 있어서 본문에 링크하였습니다.

 

2022년11월24일 수정:

1. 본문 중 "또한 j와의 곱이라는 것은..." 이후의 내용을 추가하였습니다.

 

2023년 7월 14일 수정

1. 본문 중 "즉 변위(A)와 위상(θ)이 두 개의 독립적인 축(내적이 0)을 가지는 벡터물리량으로 표현할 수 있습니다. (내적이 0)" 이라는 부분은 틀린 내용이라 본문과 같이 수정하였습니다.