4단자망

본 블로그의 삼각함수에서 배웠던 P(x,y)를 P'(x',y')로 각도 이동하는 것은 다음과 같이 나타난다.

 

매트릭스 $P'(x',y') = T_{22}  P(x,y)$

 

여기서, $T_{22}=\begin{pmatrix} cos \theta & -sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{pmatrix}$

 

위 식은 입력을 넣으면 출력으로 나오는 것으로 볼 수 있다. 즉, 매트릭스 $T_{22}$는 전달함수이다.

 

그러나, 회로이론 4단자망 이론에서는 다음과 같은 형식을 사용한다.

$\begin{pmatrix} v_{in} \\ i_{in} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A \ B \\ C \ D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{out} \\ i_{out} \end{pmatrix}$

 

즉, 단자망함수 ABCD는 전달함수가 아닌 망을 표현하는 매트릭스이다.

 

위 매트릭스를 풀면

$v_{in}=A v_{out} + B i_{out}$

$i_{in}= C v_{out} + D i_{out}$

 

위 식에서 단자망매트릭스의 구성원(정수)는 다음과 같이 구할 수 있다.

$A|_{{i_{out}=0}} = \dfrac{v_{in}}{v_{out}}$ : 개방전압이득

$B|_{{v_{out}=0}} = \dfrac{v_{in}}{i_{out}}$ : 단락임피던스

$C|_{{i_{out}=0}} = \dfrac{i_{in}}{v_{out}}$ : 개방어드미턴스

$D|_{{v_{out}=0}} = \dfrac{i_{in}}{i_{out}}$ : 단락전류이득

 

위에서 보면, 4단자 정수 A와 D를 '이득'이라고 정의했는데, 본인은 개방전압비, 단락전류비라고 부르고 싶다. 

 

아래에 기본이 되는 직렬, 병렬회로를 나타내고 4단자망 정수 값을 나타낸다.

 

위에만 Z가 있네. B의 정의가 임피던스이므로 임피던스 값을 넣어주면 된다. 단, 위 아래 연결된 Z가 없으므로 C=0 대입.

Z가 위 아래에 걸쳐 있는 경우, 어드미턴스 값을 C에 넣어 주면 된다. 단, 수평방향에 Z가 없으므로 B=0 대입.

그 이외의 전압비, 전류비는 1로 셋팅해서 매트릭스를 채우면 된다.

 

여기서 변형되어 오른손 경례형(ㄱ형), 왼손 경례형, T형 및 $\Pi$형과 같은 4 단자망 정수 값을 구하는 것들이 전기기사 관련 문제로 출제되고 있다.

 

문제풀이 방법은 다음의 3가지 방법으로 구할 수 있다.

 

① 원초적 유도

4단자망 정수를 구하기 위해 회로를 분석한 후 출력 전압, 출력 전류를 0으로 해서 구한다.

② 매트릭스

개개의 단위 임피던스마다 하나의 매트릭스 식을 세운 후 매트릭스 연산을 통해서 4단자 정수를 구한다.

③ 외우기

매트릭스를 이용해서 연산된 매트릭스를 분석해보니 다음과 같은 규칙이 있음을 발견했다.

- 상단에 Z가 있는 경우, B=Z

- 상, 하단의 연결 부위에 Z가 있는 경우, C=1/Z

- 정상 ㄱ자 경례형 : A = 1+상단Z /하단Z 

- 비정상 r자 경례형 : D = 1+ 상단 Z / 하단 Z

 

Ace 병사는 오른손으로 경례, D급 병사는 왼손으로 경례. 

위 3가지 방법 중 외우기(회로의 형태에 따라서 A, B, C, D를 바로 바로 구해 내는 것)을 추천한다.

 

T형과 Pi형은

 

B와 C만을 외우면 된다. T형은 기차 놀이하는 임피던스를 어드미턴스를 곱해주고, 파이는 파이를 나눠먹는 임피던스를 어드미턴스들이 나도 나눠 먹자고 하는 형태를 상상하면 된다.

 

끝으로 임피던스 파라메타와 어드미턴스 파라메타를 어떻케 정의하는지 나타내 본다.

 

$\begin{pmatrix} v_{in} \\ v_{out} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Z_{11} \ Z_{12} \\ Z_{21} \ Z_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} i_{in} \\ i_{out} \end{pmatrix}$

 

$\begin{pmatrix} i_{in} \\ i_{out} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} Y_{11} \ Y_{12} \\ Y_{21} \ Y_{22} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_{in} \\ v_{out} \end{pmatrix}$

 

위에서 3개의 매트릭스에 대해서 살펴보았는데, 주의할 점은 각각의 순서이다.

 

$\begin{pmatrix} v_{in} \\ i_{in} \end{pmatrix}$ = Matrix M $\begin{pmatrix} v_{out} \\ i_{out} \end{pmatrix}$

 

$\begin{pmatrix} v_{in} \\ v_{out} \end{pmatrix}$ = Matrix_Z $\begin{pmatrix} i_{in} \\ i_{out} \end{pmatrix}$

 

$\begin{pmatrix} i_{in} \\ i_{out} \end{pmatrix}$ = Matrix_Y  $\begin{pmatrix} v_{in} \\ v_{out} \end{pmatrix}$

 

더 자세히는 아래의 전기기사 회로망이론의 4단자망에 대한 설명을 참조하세요.

 

https://www.youtube.com/watch?v=uDmKWECDNZs

https://www.youtube.com/watch?v=1ke8fBSQzOc&t=9s

https://www.youtube.com/watch?v=ymQTlqFiAGY