곱셈과 미적분 이해하기

 

함수에서 곱셈은 몇 배를 해주는 것이 아니라 변화의 세기를 의미한다. x가 1만큼 갈 때 y는 a 만큼 가라고 하기 때문이다. 또한 이것은 기울기를 말한다.

 

$y=a x$    ----- (1)

윗 식은 기울기가  a인 직선이다.

 

그런데 2차 함수로 가면, 식 (1)과 같이 직관적으로 기울기를 구할 수는 없다. 그래서 미분이라는 것이 나왔는데, 기울기의 정의로 부터 만들어진 식은 아래와 같다.

 

$$\frac {\text{y 변화량}}{\text{x의 변화량}}=\frac{f(x+\triangle x) - f(x)}{\triangle x}$$

 

그리고 위 식에서 $\triangle x$를 0에 수렴시키면 그 함수를 점 x에서의 미분값이라고 하고 아래와 같이 표시한다.

$$y\prime = f\prime (x) = \lim_{\triangle x \to 0}\frac{f(x+\triangle x) - f(x)}{\triangle x} = \frac {d}{dx}f(x)$$

 

자 그러면 미분은 기울기라는 의미는 확실히 이해되었을 것이다. 또한 기울기는 변화의 세기이다.

 

(어떤 한 점에서의 기울기를 구하기 위해서 미분 개념을 만들었으며 이것에 대한 자료는 교과서 및 구글링에 매우 많이 나와 있다.)

 

그러면 적분은 무엇일까?

 

식 (1)을 보면 이것은 1차함수이다. 그리고 그 값은 "기울기 a를 가지는 직선이다"라고 보통 생각한다. 그러나, 이것을 다시 보면 "f(x)는 x축을 따라가면서 만들어지는 면을 둘러싼 선"이라고 볼 수 있다. 또한 "면의 변화를 보여주는 선"이라고 할 수 있다.

 

이 면적을 나타내는 함수를 F(x)라고 하고 아래 그래프처럼 생각해보자.

그러면, 값 x에 대하여 면적과 선의 관계식이 나타난다.

$F(x+\triangle x) = F(x) + f(x) \triangle x$

 

이것을 아래와 같이 유도하면,

 

$F(x+\triangle x) - F(x) = f(x) \triangle x$

$\frac{F(x+\triangle x)-F(x)}{\triangle x} = f(x)$

 

윗 식에서 $\triangle x$를 0에 무한시 수렴시키면,

$$\lim_{\triangle x\to0}\frac{F(x+\triangle x)-F(x)}{\triangle x} = \lim_{\triangle x \to 0} f(x)$$

 

최종적으로 적분과 미분과의 관계식은 아래와 같이 유도된다.

$$\frac {d} {dx} F(x) = f(x)$$

 

여기서 $F(x)$는 함수f(x)의 부정적분이라고 하며, 정적분은 부정적분이 특정범위의 값을 가질 때, 즉 특정범위의 면적을 가지게 된다. (큰 면적에서 작은 면적을 뺀 것이다.)

 

다시 한번 적분에 대해서 말하면, 어떤 함수가 만들어내는 선에 대해서 주목하지 않고 그 선이 만들어 내는 면적에 주목하고, 그 면적을 미분(변화량의 세기, 기울기)하면 나타나는 함수가 그 면적을 둘러쌓고 있는 선이 된다는 것이다.