수학에서 라디안(Radian)이란?

먼저 답은,

반지름이 1인 원에서, 원 상의 임의의 점이 이루는 각도를 표기하기 위한 방법이다. 이 각도는 아크의 길이(x축에서 이 점까지의 이동하는 호 길이. 이동 거리)이다.

그래서 호도법이라고 한다. 호(호의 길이)를 각도로 사용하는 방법쯤이라 해석해 본다.

 

Radian은 Radius + Angle의 합성어로 본다.

Radius는 방사능 물질을 말할 때의 방사에서 나왔다. 무엇인가 중심에서 나와서 퍼져나가는 것을 의미한다. 원의 반지름이 Radius.

Angle은 각도이다.

즉, 원의 반지름과 관련이 있는 각도라는 의미이다.

 

어떤 관련이 있을까?

 

과거의 현자는 태양이 지구를 360일 만에 원형 회전한다고 생각했다. 그래서 지구를 공전하고 있다고 생각하는 태양의 위치를 각도로 나타냈을 것이다.

 

이 말은 이 각도가 절대적인 것이 아닌 중심에서 반지름 거리(r)을 지나는 원둘레(아크)의 길이를 360으로 본 것이다.

 

그런데 이러한 각도법은 아름다운 숫자인 원주율($\pi$)과 관련이 없다. 원은 한 점과 여기서 부터 떨어져 있고 동일한 거리에 있는 무수한 점들을 모두 연결한 선인데, 이러한 선의 길이와 지름과의 비는 항상 3.14... 라고 나오는 원주율($\pi$)을 만족하게 된다. 

 

그래서 원의 둘레 길이 공식(공식이 아닌 사실)이 아래와 같다.

$l=\pi 2r $  --- (1)

 

음.. 윗 식을 보니 거리를 각도로 표현하면 어떨까라는 생각이 드는가? (본인은 이런 생각 못한다.)

과학의 거인들은 생각했다.

 

내가 눈을 들어서 산의 높이를 360 분법으로 말하는 것보다는 그 산의 정상까지의 점을 반지름으로 하는 원을 만든 후 그 점까지의 아크(Arc) 길이를 가지고 말하면 될 것 같은데?

그런데 이것은 반지름이 1인 원을 통과하는 선을 정상까지 연결한 각도와 같다. (내가 안쪽원을 보고서 눈을 올리나 바깥쪽 원을 보고 눈을 올리나 그 각도는 같다)

 

공식 (1)에서 r=1로 만들면 원의 둘레는 $2 \pi$이다. 원의 길이(한바퀴 회전)가 $2 \pi$. 

 

그럼 반 만 회전하면? 1/4 회전하면?  1/8회전하면?

각각 $\pi$, $\pi /2$,  $\pi /4$가 되며 이것은 180도, 90도, 45도와 대응된다. 새로운 각도법에서는 아름다운 원주율을 사용하는구나! 또한 그 호의 길이가 각도가 되는구나!

 

그래서 라디안이  "호(호의 길이)를 각도로 사용하는 방법"이라고 서두에서 말한 것이다.

 

문제를 내볼까?

반지름 1인 어떤 원 상의 점 P를 바라보는 각도가 $\pi /2$ 라디안이라면, 이 때 이 호의 길이는?

당연히 $\pi /2$이다.