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수학

평행사변형의 대각선 길이

by 배굿맨 2023. 6. 27.

평행사변형의 대각선의 길이(점A와 점C간)이 거리를 구하는 공식은 a2+b2+2abCosθ이다.

 

공식은 빗금 친 수직 삼각형의 대변의 길이를 구하는 문제이므로 피타고라스 정리로부터 쉽게 유도할 수 있다.

 

c2=(a+d)2+h2

     =a2+2ad+d2+h2, 여기서 d=bCosθ,h=bSinθ이므로

      =a2+2abCosθ+(bCosθ)2+(bSinθ)2

      =a2+2abCosθ+b2(Cos2θ+Sin2θ)

여기서 (Cos2θ+Sin2θ)=1 이므로, 

      =a2+b2+2abCosθ

 

그러므로 대변의 길이(c) 구하는 공식은 아래와 같다.

 

a2+b2+2abCosθ

 

윗 공식은 벡터의 합을 구할 때 매우 유용한 공식이므로 꼭 외워놓는다.

 

만일 θ가 90도이면, 직각사각형이 된다. a2+b2

 

만일  θ가 0도면, c=a+b가 된다.

선분 AD가 a 만큼 이동한 선분은 선분AD에 수평이다. 이 선분을 오른쪽으로 눕힌다고 상상해보자. 그러면 두 선의 이동경로(길이)가 대각의 길이로 보일것이다. 벡터의 합을 배우면 더 쉽게 이해될 것이다.

 

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