원과 구

 

원둘레, 원의면적, 원의표면적, 원의체적

 

우리가 원과 구를 다룰 때,  반지름($r$)을 알면 원주의 길이, 원의 넓이, 구의 표면적, 구의 체적을 알 수 있다.

 

왜냐하면 우리는 $\pi$를 알고 있기 때문이다.

 

$\pi$란? 

원주율이라하고 원의 둘레 길이와 지름의 비($\pi=l/2r$)이다.

 

원주율을 구하기 위해서는 여러 방법들이 있다. 가장 옛날에는 내접하는 정다각형보다는 원주의 길이가 크고, 외접하는 정다각형보다는 원주의 길이가 작다는 것으로 구하였다. 그러다 연속된 무한곱셈값 또는 무한 덧셈값으로 원주율을 구하게 되었다. 

 

원주율은 무한소수이기 때문에 3.141592...로 기억하거나 어림잡아 22/7(=3.14...) 값이라고 생각한다. (22/7로 기억하는 사람은 동그란 색종이를 잘라본 사람일 것이다. 어떠한 원이든지간에, 원주의 길이를 22칸 나누면 지름은 7칸으로 나누어 진다는 의미이다.)

 

그러므로 반지름 $r$을 알면, 원주의 길이(원둘레의 길이)는 아래와 같다.

 

$l= D \pi = 2r \pi = 2 \pi r$

여기서, $D=2r$.

 

그러면 초등산수에서는 원의 면적, 구의 표면적 및 구의 체적은 아래의 관계에 있다.

 

• 원의 면적 = r * (원둘레의 반) = $\pi r^{2} = r * ((2\pi r) /2)  = \pi r^2$

윗 공식은 원을 균등히 잘라서 원뿔을 서로 교차시키어 배열한 후, 직사각형의 가로*높이로 면적을 구하는 방식이다.

 

• 구의 표면적 = $2r * 2\pi r = 4 \pi r^2$

윗 공식은 구를 외접하는 원통의 감고있는 테두리 표면적이 구의 표면적과 같다는 것을 이용한다.

 

• 구의 체적 = 원통의 2/3배 =$2/3 \pi r^2 * (높이) = 2/3 \pi r^2 * (2r) = 4/3 \pi r^3$

윗 공식은 구의 체적은 원통의 2/3배라는 공식을 이용한다.

 

그런데 미적분을 배운 후에는 아래처럼 이해할 수 있다.

 

• 원의 면적 = $\int_{0}^{r} {2 \pi r dr} = \pi r^{2}$

윗 공식은 원의 반지름이 차츰 커나가면서 $r$까지 가면서 만들어지는 원주 길이들의 합이 원의 면적임을 보여준다.

 

• 구의 체적 = $\int_{0}^{r} {4 \pi r^{2} dr} = 4/3{\pi r^{3}}$

윗 공식은 구의 반지름이 차츰 커나가면서 $r$까지 가면서 만들어지는 각 표면적들의 합이 구의 체적임을 보여준다.

여기서, $4 \pi r^{2}$ 은 구의 표면적이다.

 

참조. 구의 표면적을 구하는 방법은 아래 링크 참조.

https://color-change.tistory.com/57

구의 겉넓이 구하는 법 - 구의 겉넓이 공식 유도

신기하다. 구의 표면적은 원의 면적의 4배, 다시 말하면 구를 4조각으로 나누면 그 한 조각의 표면적이 원래 원의 면적과 같다라는 점이다.