구동점 임피던스

회로를 해석하는 가장 간단한 방법은 회로 소자 각각의 구동점 임피던스를 구한 후 원하는 답을 찾아 내면 된다. 그럼 구동점 임피던스란 무엇인가에 대해서 먼저 알아야 겠다.

 

○ R-L 직렬회로의 구동점 임피던스

 

 

위 회로망의 미분방정식은 인덕터에 패러데이 법칙을 적용하여 나타내면,

 

$v_i (t) = R \cdot i(t) + L \dfrac{di(t)}{dt}$ ------- (1)

 

여기서 $i(t)는 e^{j \omega t}$ 형태이므로 윗 식은,

$v_i(t) = R \cdot i(t) + L j\omega \cdot i(t)$ ------- (2)

$v_i (t) = (R + j \omega L ) \cdot i(t)$

 

윗 식을 아래와 같이 정리하면,

$\dfrac{v_i (t)}{i(t)} = R + j \omega L$ 값을 가진다.

 

이것은 임피던스의 정의와 같다. 즉 구동점 임피던스는 출력단과는 상관없이 입력단의 전압과 전류만 관련된 구동점에서 바라본 임피던스이다.

 

인덕터에 걸리는 전압은 

$v_o (t)= j \omega L {i (t)}$ -------(3)

 

(3)식에서 아래와 같이 구동점 임피던스로 정리하면,

$\frac{v_o (t)}{i (t)}= j \omega L $ -------(4)

 

그러므로, 전압 분배 법칙에 의하여 출력 전압($v_o (t)$)는

 

$v_o (t) = \dfrac{Z_L}{Z_{tot}} \cdot v_i (t)$

여기서,  전체 임피던스=$Z_{tot}$, 인덕터의 임피던스=$Z_L$

 

윗 식은 어디서 많이 보던 식이다. 증폭기의 이득 또는 전달함수 형태이다.

 

여기서 이득 또는 전달 함수($T$)는 아래와 같이 나타난다.

 

$\begin{split}T &=\dfrac{v_o (t)}{v_i (t)} \\ &=\frac{j \omega L}{R+j \omega L} \\&=\dfrac{j \omega L}{R+j \omega L} \end{split}$

 

위 전달 함수는 전압 분배 법칙을 표현한 식이기도 하다. 

우리는 구동점 임피던스를  배우기 전에 이미 회로해석을 하기 위해서는 각각의 저항값을 먼저 구한 후에 전압 분배 법칙을 이용해서 출력 전압 또는 출력 전류를 구하여 왔다.

구동점 임피던스는 입력단에서 바라본 임피던스라고 보면 된다.

 

회로해석시 종종 소자 각각의 구동점 임피던스를 구한 후 총 임피던스와 개별 임피던스의 비율을 이용하면 원하는 답을 빠르게 찾을 수 있게 된다.

 

※ 회로 소자별 구동점 임피던스

R(저항)	$Z=R$
L(인턱터)	$Z=j \omega L$
C(커패시터)	$Z=\frac{1}{j \omega C}$ <- 식 (6) 참조

위에서 커패시터의 구동점 임피던스는 $-\frac{j}{\omega C}$로 표현하지 않는것이 좋다.

 

커패시터의 구동점 임피던스 표현은 아래에 간략히 설명한다.

 

○ R-C 직렬 회로의 구동점 임피던스

 

위 회로망의 미분방정식은 커패시터에 $Q=C V$와 $Q=\int \frac{d}{dt} i(t) dt $법칙을 적용하여 나타내면,

 

$v_i (t) = R \cdot i(t) + \dfrac{1}{C} \int i(t) dt$ 

 

여기서 $i(t)는 e^{j \omega t}$ 형태이므로 윗 식은 $v_i(t) = R \cdot i(t) + \frac{1}{C j\omega} \cdot i(t)$가 된다.

 

윗 식을 아래와 같이 정리하면,

$\dfrac{v_i (t)}{i(t)} = R + \dfrac{1}{C j \omega}$ ------- (5)

 

커패시터에 걸리는 전압은,

$v_o (t) = \dfrac{1}{j \omega C} \cdot i(t)$ ------- (6)

 

그래서 위에 커패시터의 구동점 임피던스를 $-\frac{j}{\omega C}$ 로 표시하지 말라고 한 것이다. 윗 식을 보면 자연스럽게 커패시터의 구동점 임피던스는 적분을 통해서 유도됨이 보여지기 때문이다.

 

라플라스를 배우면 $j \omega t$를 $s t$로 놓게된다. 이러면 초기조건이 0인 상태에서의 전달함수를 라플라스 형태로 표현하게 된다.