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소방 설비 기사/소방전기회로

왜 라플라스(s)를 썼나?

by 배굿맨 2020. 9. 13.

결론부터 말하자면, ejwt를 사용하지 않고 est만을 사용하면 미분방정식에서 허수를 다루는 수고를 덜 수 있어서이다.

 

1차 함수를 미분하면? 상수가 나온다.

2차 함수를 미분하면? 1차 함수가 나온다.

 

상수를 적분하면? 1차 함수가 나온다.

1차 함수를 적분하면? 2차함수가 나온다.

 

이 세상에서 미분하거나 또는 적분하면 원래의 형태를 유지하는 함수가 있을까?

딱 하나 있다. ex 함수이다. 삼각함수도 ex 함수로 나타낼 수 있으므로 ex 함수라고 할 수 있다.

 

전자회로의 인덕터와 커패시터에 나타나는 전류와 전압은 입력 함수와 같은 형태를 가진다. 단지 그 절대값과 위상만이 바뀔 뿐이다. 그러므로 회로망을 미분방정식으로 나타내면 그 해는 ex 함수로 나타나게 된다.

 

직렬 임피던스

 

○ R-L 직렬회로

 

 

위 회로망의 미분방정식은 인덕터에 패러데이 법칙을 적용하면,

 

vi(t)=Ri(t)+Ldi(t)dt

 

여기서 i(t)est 형태이므로 윗 식은

 

vi(t)=Ri(t)+Lsi(t)=(R+sL)i(t) ------- (1)가 된다.

 

윗 식을 아래와 같이 정리하면,

vi(t)i(t)=R+sL 값을 가진다.

 

이것은 임피던스의 정의이며, 입력단에서 바라본 임피던스라고 해서 구동점에서 바라본 임피던스라고 정의되는 '구동점임피던스'이다.

 

구동점 임피던스에 대한 자세한 설명은 아래에 설명되어 있다. 같은 회로를 통해서 설명하므로 읽고 오면 조금더 이해가 잘 될 것이다.

 

 

구동점 임피던스

회로를 해석하는 가장 간단한 방법은 회로 소자 각각의 구동점 임피던스를 구한 후 원하는 답을 찾아 내면 된다. 그럼 구동점 임피던스란 무엇인가에 대해서 먼저 알아야 겠다. ○ R-L 직렬회로��

fotc.tistory.com

 

여기서 전달 함수T를 구하려고 하면, 출력 vo(t)는 다음과 같다. 

 

vo(t)=Ldi(t)dt ------- (2)

=sLi(t)

 

그러므로, 식 (1)과 식 (2)를 결합하면,

 

T=vo(t)vi(t)=sLi(t)(R+sL)i(t)

=sLR+sL ------- (3)

 

위 유도는 R-L 직렬회로의 출력단의 구동임피던스와 전체 구동점 임피던스의 비례식으로서 전압 분배법칙과 같음을 알 수 있다. 

 

그럼 위의 전달함수를 라플라스 변환으로 표현해 보면,

 

(1) 식의 라플라스 변환,

L[vi(t)]=L[Ri(t)+Ldi(t)dt]

Vi(s)=RI(s)+sLI(s)=(R+sL)I(s) 

 

(2) 식의 라플라스 변환,

L[vo(t)]=L[Ldi(t)dt]

=sLI(s)

 

그러므로 전달함수는

 

T=C(s)/R(s)=sLR+sL ------- (4)

이 된다.

 

수식 (3)과 수식(4) 모두 전달함수는 같음을 볼 수 있으며 회로의 내부 구성요소에 의해서 회로의 전달함수 특성이 결정됨을 보인다.

 

라플라스 변환은 미분방정식을 쉽게 풀 수 있는 열쇠이다.