왜 라플라스(s)를 썼나?

결론부터 말하자면, $e^{jwt}$를 사용하지 않고 $e^{st}$만을 사용하면 미분방정식에서 허수를 다루는 수고를 덜 수 있어서이다.

 

1차 함수를 미분하면? 상수가 나온다.

2차 함수를 미분하면? 1차 함수가 나온다.

 

상수를 적분하면? 1차 함수가 나온다.

1차 함수를 적분하면? 2차함수가 나온다.

 

이 세상에서 미분하거나 또는 적분하면 원래의 형태를 유지하는 함수가 있을까?

딱 하나 있다. $e^x$ 함수이다. 삼각함수도 $e^x$ 함수로 나타낼 수 있으므로 $e^x$ 함수라고 할 수 있다.

 

전자회로의 인덕터와 커패시터에 나타나는 전류와 전압은 입력 함수와 같은 형태를 가진다. 단지 그 절대값과 위상만이 바뀔 뿐이다. 그러므로 회로망을 미분방정식으로 나타내면 그 해는 $e^x$ 함수로 나타나게 된다.

 

직렬 임피던스

 

○ R-L 직렬회로

 

 

위 회로망의 미분방정식은 인덕터에 패러데이 법칙을 적용하면,

 

$v_i (t) = R \cdot i(t) + L \dfrac{di(t)}{dt}$

 

여기서 $i(t)는 e^{st}$ 형태이므로 윗 식은

 

$v_i(t) = R \cdot i(t) + L s \cdot i(t) = (R + s L) \cdot i(t)$ ------- (1)가 된다.

 

윗 식을 아래와 같이 정리하면,

$\dfrac{v_i (t)}{i(t)} = R + sL$ 값을 가진다.

 

이것은 임피던스의 정의이며, 입력단에서 바라본 임피던스라고 해서 구동점에서 바라본 임피던스라고 정의되는 '구동점임피던스'이다.

 

구동점 임피던스에 대한 자세한 설명은 아래에 설명되어 있다. 같은 회로를 통해서 설명하므로 읽고 오면 조금더 이해가 잘 될 것이다.

 

구동점 임피던스

 

여기서 전달 함수$T$를 구하려고 하면, 출력 $v_o (t)$는 다음과 같다. 

 

$v_o (t) = L \cdot \dfrac{d i (t)}{dt}$ ------- (2)

$= s L \cdot i(t) $

 

그러므로, 식 (1)과 식 (2)를 결합하면,

 

$T=\dfrac{v_o (t)}{v_i (t)} = \dfrac{sL \cdot i(t)}{(R+sL) \cdot i(t)}$

$= \dfrac{sL}{R+sL}$ ------- (3)

 

위 유도는 R-L 직렬회로의 출력단의 구동임피던스와 전체 구동점 임피던스의 비례식으로서 전압 분배법칙과 같음을 알 수 있다. 

 

그럼 위의 전달함수를 라플라스 변환으로 표현해 보면,

 

(1) 식의 라플라스 변환,

$\mathcal{L}[v_i (t)] = \mathcal{L}[R \cdot i(t) + L \dfrac{di(t)}{dt}]$

$V_i (s) = R \cdot I(s) + s L \cdot I(s) = (R +s L) I(s)$ 

 

(2) 식의 라플라스 변환,

$\mathcal{L}[v_o (t)] = \mathcal{L}[L \cdot \dfrac{d_i (t)}{dt}]$

$=s L \cdot I(s) $

 

그러므로 전달함수는

 

$T=C(s)/R(s)=\dfrac{s L}{R + sL}$ ------- (4)

이 된다.

 

수식 (3)과 수식(4) 모두 전달함수는 같음을 볼 수 있으며 회로의 내부 구성요소에 의해서 회로의 전달함수 특성이 결정됨을 보인다.

 

라플라스 변환은 미분방정식을 쉽게 풀 수 있는 열쇠이다.