정현파에서 각주파수와 위상지연

정현파는 사인(Sin)파이며 1주기($2 \pi$ 라디안)를 반복하면서 계속되는 신호이다. 그래서 아래와 같이 정의된다.

$x(t) = A sin (2 \pi f t + \phi)$ ----- (식1)

 

A는 크기, 진폭이며 f는 주파수 그리고 $\phi$는 위상이라고 한다.

 

주파수는 진동수이며 $f= 1/T$이다. 아래에 상세한 설명이 있다.

 

주파수와 주기

 

그런데 전기 신호에서는 보통 각주파수 $w$를 이용해서 아래와 같이 나타낸다.

$x(t) = A sin (wt + \phi)$ ----- (식2)

여기서, $w= 2 \pi f$이다.

 

각주파수에서의 각은 Angle이 아니고 Radian이라고 되어 있음에 주의한다.

 

왜 각주파수라고 할 까?

$2 \pi$는 한 바퀴 회전을 의미한다. 그리고 그 값은 원주의 길이이다. 원주의 길이? 이것은 Radian이다.

또한 뒤에 $f$가 있다. 이것은 주파수이다. 그럼 이걸 한번에 부르면? 각+주파수=>각주파수이다.

 

뜻은 주파수가 1이면 각주파수는 $2 \pi$ 라디안이라는 의미이다.

주파수가 2면? 각주파수는 $2 \times 2 \pi$ 라디안이므로 두 바퀴 회전한다는 의미와 같다.

 

주파수는 초당 떨림의 횟수를 카운트하는 측면이 강하다면, 각주파수는 초당 회전하는 횟수를 의미한다고 보면 된다.

 

이제는 위상에 대해서 알아보자.

사인파에서 위상은 양수이면 앞선다(진상)라고 하고 음수이면 늦어진다(지상, 지연)라고 이야기한다. 보통 출력신호는 입력신호에 비하여 늦어지는 지상신호가 나타나므로 동일 면의 그래프로 입출력을 보면 출력신호는 입력신호의 우측에 있을 것이다.

 

이 때, 이러한 출력신호의 위상은 입력신호의 위상보다 얼마만큼 늦어지는 것일까? 입력신호보다 늦게 나타나는 출력신호와의 위상차는 음수로 나타나나, 보통 이 위상차의 절댓값이 $\phi$라면,  위상은 $\phi$ 만큼 늦어진다고 말하면 된다.

 

여기서 문제!

그러면 출력신호는 입력신호보다 몇 초 늦어지는 것일까?

 

이 문제는 각도를 시간으로 본다는 의미인데 단순히 각도(Angle)을 시간으로 본다는 의미가 아니다. 여기서의 각도는 Radian이며 원래는 원의 반지름이 1인 원주의 이동거리이기 때문이다.

 

라디안에 대한 자세한 내용은 아랫내용 참조.

수학에서 라디안(Radian)이란?

 

다시 문제로 돌아오자면, 윗 문제는 $\phi$ 만큼 이동하는데 걸리는 시간을 구하는 문제이다. 이 때 사용하는 공식은 우리에게 매우 친숙한 속도계산 공식이다.

 

$v= \Delta s / \Delta t$

여기서 $v$: 속도, $\Delta t$: 이동 거리$\Delta t$: 이동 시간

 

그러므로, 걸리는 시간은 아래와 같다.

 

$\Delta t= \Delta s / v$

 

여기서 위상지연이 $\Delta s$가 $\pi / 2$이고, 각주파수(각속도)가 $2 \pi$ (1초에 한 바퀴)면 답은 ${ \pi / 2 } \over { 2 \pi}$가 되며 0.25초이다.

 

물론 아래 비례식을 세워서 풀어도 된다. 유도방법은 아래와 같다.

주파수가 f라는 것은 초당 f 번 회전한다는 의미이다. 이는 $2 \pi f$ 라디안 길이만큼 이동한다는 의미이다. 이 때, 초 당 이만큼 이동한다면 위상각은 초당 얼만큼 이동하는 것인가라는 비례식을 만들면 된다.

 

$1[sec] : 2 \pi f [rad] = x[sec] : \phi [rad] $

$x[sec] = \phi / (2 \pi f) [sec]$

 

끝으로 각주파수를 각속도와 동일어로 사용했다. 개념이 같기 때문이다.

각주파수는 주파수가 f인 사인파가 f번 회전함을 의미하며 이 값은 radian이다. 초 당 회전하는 거리, 즉 속도이다.

각속도의 정의는 원점에서 반지름 r만큼 떨어져 원운동하는 물체의 속도이다. 초당 이동거리이며 우리가 radian을 사용하고 있다면 반지름 r에서 초당 이동하는 거리가 된다. 즉, 속도이다.

 

그래서 전기신호를 다룰 때, 각속도와 각주파수는 동일하다고 할 수 있다. 왜냐면, 진폭을 떼고 본 전기신호인 사인파는 반지름이 1인 원을 회전하는 회전체의 회전운동과 동일하기 때문이다.